16^x - 4^(x+1) - 14 = 0

Для решения уравнения $16^x - 4^{x+1} - 14 = 0$, начнем с того, что представим обе степени в одинаковом виде.

1. Обратите внимание, что $16$ можно представить как $4^2$. То есть, $16^x = (4^2)^x = 4^{2x}$.

   Тогда уравнение примет вид:

   $$4^{2x} - 4^{x+1} - 14 = 0$$

2. Теперь заменим $4^x$ на новую переменную, скажем $y$. Тогда $4^{2x} = (4^x)^2 = y^2$, а $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4y$. Подставим это в уравнение:

   $$y^2 - 4y - 14 = 0$$

3. Получилось квадратное уравнение относительно $y$:

   $$y^2 - 4y - 14 = 0$$

   Теперь решим его с помощью дискриминанта. Для квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ дискриминант $D$ рассчитывается по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   В нашем случае $a = 1$, $b = -4$, и $c = -14$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

   $$D = (-4)^2 - 4(1)(-14) = 16 + 56 = 72$$

4. Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставим значения $b = -4$, $D = 72$, и $a = 1$:

   $$y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{72}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2}$$

   Так как $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$, получаем:

   $$y = \frac{4 \pm 6\sqrt{2}}{2}$$

   Это даст два значения для $y$:

   $$y_1 = \frac{4 + 6\sqrt{2}}{2} = 2 + 3\sqrt{2}, \quad y_2 = \frac{4 - 6\sqrt{2}}{2} = 2 - 3\sqrt{2}$$

5. Теперь вернемся к переменной $y = 4^x$. Получаем два уравнения:

   $$4^x = 2 + 3\sqrt{2} \quad \text{или} \quad 4^x = 2 - 3\sqrt{2}$$