На доске написаны числа 1, 2,…,21. За одну операцию разрешается стереть два числа a и b и вместо них записать на доску число a+b-1. Что из перечисленного является инвариантом в задаче? А)Количество чисел на доске
Б)Количество чисел после применения n операций, увеличенное на n
В)Сумма чисел
Г)Сумма чисел после применения n операций, увеличенная на n
Д)Произведение чисел
Е)Произведение чисел после применения n операций, увеличенное на n

Какое число может быть записано на доске после применения 20 операций?

Разберем задачу подробно.

Условия задачи

На доске написаны числа $1, 2, \ldots, 21$. В процессе мы выполняем операции, которые заменяют два числа $a$ и $b$ их комбинацией $a + b - 1$. Важно понять, какие свойства сохраняются неизменными (инварианты) в ходе этих операций.

Анализ инвариантов

1. Количество чисел на доске

Каждая операция уменьшает количество чисел на доске на 1, так как два числа заменяются одним. Первоначально на доске 21 число. После 20 операций на доске останется:

Это не является инвариантом, так как количество чисел изменяется.

2. Количество чисел после применения $n$ операций, увеличенное на $n$

Если после $n$ операций количество чисел на доске $21 - n$, то увеличенное на $n$ количество будет:

Это является инвариантом, так как итог всегда равен 21.

3. Сумма чисел

На начальном этапе сумма чисел на доске равна:

При замене двух чисел $a$ и $b$ на $a + b - 1$, сумма чисел уменьшается на 1 (разница $a + b - 1 - (a + b) = -1$). После каждой операции сумма уменьшается ровно на 1. Через 20 операций сумма станет:

Это не является инвариантом, так как сумма чисел меняется.

4. Сумма чисел после применения $n$ операций, увеличенная на $n$

Если после $n$ операций сумма чисел уменьшается на $n$, то увеличенное на $n$ значение равно:

Это инвариант, так как итоговая величина всегда остается равной 231.

5. Произведение чисел

На начальном этапе произведение чисел равно:

При замене двух чисел $a$ и $b$ на $a + b - 1$, произведение меняется непредсказуемым образом. Поэтому произведение чисел не является инвариантом.

6. Произведение чисел после применения $n$ операций, увеличенное на $n$

Так как произведение чисел в процессе меняется, то и эта величина не является инвариантом.

Какое число может быть записано на доске после 20 операций?

После 20 операций на доске остается одно число. Последовательные операции заменяют два числа на одно новое, причём в каждой операции сумма всех чисел уменьшается на 1. В итоге сумма всех чисел через 20 операций равна:

Таким образом, единственное оставшееся число на доске будет равно 211.

Ответы:

1. Инварианты:

   • Б) Количество чисел после применения $n$ операций, увеличенное на $n$.
   • Г) Сумма чисел после применения $n$ операций, увеличенная на $n$.

2. Число, которое может остаться на доске после 20 операций: 211.