Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А(-2;3) , В(4;5) и С(2;1)

Чтобы найти координаты вершины $D$ параллелограмма $ABCD$, можно воспользоваться свойством параллелограмма: в параллелограмме диагонали пересекаются в точке и делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей $AC$ и $BD$ совпадают.

Итак, шаги решения:

1. Находим середину диагонали $AC$: Если известны координаты точек $A(-2; 3)$ и $C(2; 1)$, то координаты середины диагонали находятся по формуле:

   $$M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2} \right)$$

   Подставим значения:

   $$M_{AC} = \left( \frac{-2 + 2}{2}; \frac{3 + 1}{2} \right) = \left( 0; 2 \right)$$

2. Середина диагонали $BD$ совпадает с $M_{AC}$: Если $M_{BD}$ также равна $(0; 2)$, то, используя координаты точки $B(4; 5)$, можно выразить координаты точки $D$ как неизвестные $(x_D; y_D)$ и найти их.

3. Записываем уравнения для середины $M_{BD}$: По формуле середины отрезка:

   $$M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}; \frac{y_B + y_D}{2} \right)$$

   Подставим координаты $M_{BD}(0; 2)$ и $B(4; 5)$:

   $$\left( \frac{4 + x_D}{2}; \frac{5 + y_D}{2} \right) = (0; 2)$$

4. Решаем систему уравнений: Для первой координаты:

   $$\frac{4 + x_D}{2} = 0 \implies 4 + x_D = 0 \implies x_D = -4$$

   Для второй координаты:

   $$\frac{5 + y_D}{2} = 2 \implies 5 + y_D = 4 \implies y_D = -1$$

5. Координаты точки $D$: Таким образом, $D(-4; -1)$.

Ответ: координаты вершины $D$: $(-4; -1)$.