|x+3|+|x-5|=20 |x+3|+|x-5|=8 |x+3|+|x-5|=4

Рассмотрим сумму модулей как сумму расстояний от точки $x$ до точек $-3$ и $5$:

Расстояние между $-3$ и $5$ равно $8$. На отрезке $[-3,\,5]$ сумма расстояний до концов постоянна и равна именно $8$; вне этого отрезка сумма растёт линейно.

Далее разберём по областям:

• при $x\ge 5:\quad |x+3|+|x-5|=(x+3)+(x-5)=2x-2$;

• при $-3\le x\le 5:\quad |x+3|+|x-5|=(x+3)+(5-x)=8$;

• при $x\le -3:\quad |x+3|+|x-5|=-(x+3)-(x-5)=-2x+2$.

Теперь решаем каждое уравнение.

1. $|x+3|+|x-5|=20$.

• Для $x\ge 5:\; 2x-2=20 \Rightarrow x=11$.

• Для $x\le -3:\; -2x+2=20 \Rightarrow x=-9$.

• На $[-3,5]$ сумма равна 8, не подходит.
  Ответ: $x=-9$ или $x=11$.

2. $|x+3|+|x-5|=8$.

• На всём отрезке $[-3,5]$ сумма равна 8 — все такие $x$ подходят.

• Вне отрезка сумма $>8$, решений нет.
  Ответ: $x\in[-3,\,5]$.

3. $|x+3|+|x-5|=4$.
   Минимально возможная сумма равна 8 (и достигается на $[-3,5]$), поэтому равенство 4 невозможно.
   Ответ: решений нет.

Итоги:

• $=20:\ \{-9,\,11\}$

• $=8:\ \ [-3,\,5]$

• $=4:\ \ \varnothing$.