Решите уравнение \( х^3 + 2х^2 + х = 0 \), предварительно разложив левую часть уравнения на множители.

Для решения уравнения $x^3 + 2x^2 + x = 0$ начнем с того, что вынесем общий множитель.

1. Общее выражение в каждом слагаемом содержит множитель $x$, поэтому можно вынести $x$ за скобки:

   $$x(x^2 + 2x + 1) = 0$$

2. Теперь у нас есть произведение двух выражений: $x$ и $(x^2 + 2x + 1)$. Установим, что это произведение равно нулю. То есть, одно из этих выражений должно быть равно нулю:

   $$x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + 2x + 1 = 0$$

3. Первый случай очевиден: $x = 0$.

4. Во втором случае решим квадратное уравнение $x^2 + 2x + 1 = 0$. Заметим, что это можно переписать как полный квадрат:

   $$(x + 1)^2 = 0$$

   Из этого уравнения следует, что:

   $$x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1$$

Таким образом, у уравнения $x^3 + 2x^2 + x = 0$ два решения: $x = 0$ и $x = -1$.