Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка

y″ - 9y = 0 если, у=2 и y'=6 при х=0

y″ + 6y' + 9у = 0 если, у=2 и y'=1 при х=0

1) \(y'' - 9y = 0\), \(y(0)=2\), \(y'(0)=6\)

Характеристическое уравнение:

\[r^2 - 9 = 0\]

\[r = 3,\quad r = -3\]

Общее решение:

\[y = C_1e^{3x} + C_2e^{-3x}\]

По условиям:

\[C_1 + C_2 = 2\]

\[3C_1 - 3C_2 = 6\]

Отсюда \(C_1=2\), \(C_2=0\).

Ответ:

\[y = 2e^{3x}\]

2) \(y'' + 6y' + 9y = 0\), \(y(0)=2\), \(y'(0)=1\)

Характеристическое уравнение:

\[r^2 + 6r + 9 = 0\]

\[(r+3)^2=0\]

Общее решение:

\[y = (C_1 + C_2x)e^{-3x}\]

Из условия \(y(0)=2\):

\[C_1=2\]

Производная:

\[y' = (C_2 - 3C_1 - 3C_2x)e^{-3x}\]

Из условия \(y'(0)=1\):

\[C_2 - 3C_1 = 1\]

\[C_2 - 6 = 1\]

\[C_2=7\]

Ответ:

\[y = (2+7x)e^{-3x}\]

0 0 Пожаловаться