1) Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными xy' + y = 0 2)

Ответы на вопрос

Отвечает Дрёмин Тёма.

Уравнение:
$x \cdot y' + y = 0$

Разделим переменные. Для этого выразим $y'$ как $\frac{dy}{dx}$ :

x \cdot \frac{dy}{dx} + y = 0

Переносим $y$ на правую сторону:

x \cdot \frac{dy}{dx} = -y

Теперь разделим переменные:

\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}

Интегрируем обе части:

\int \frac{1}{y} \, dy = \int -\frac{1}{x} \, dx

Решение интегралов:

\ln|y| = -\ln|x| + C

где $C$ — произвольная постоянная. Преобразуем это:

\ln|y| = \ln|x^{-1}| + C

Возведем обе части в степень $e$ , чтобы избавиться от логарифмов:

|y| = C' \cdot |x^{-1}|

где $C' = e^C$ . Убираем абсолютные величины, объединяя константу $C'$ с возможным знаком:

y = \frac{C}{x}

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.

Уравнение:

(1 - x^2) \frac{dy}{dx} + xy = 0

Разделим переменные:

\frac{dy}{dx} = -\frac{xy}{1 - x^2}

Перепишем уравнение так, чтобы разделить переменные:

\frac{dy}{y} = -\frac{x \, dx}{1 - x^2}

Интегрируем обе части:

\int \frac{1}{y} \, dy = -\int \frac{x}{1 - x^2} \, dx

Интегрируем обе стороны:

\ln|y| = -\frac{1}{2} \ln|1 - x^2| + C

Преобразуем:

\ln|y| = \ln|(1 - x^2)^{-1/2}| + C

Возводим обе части в степень $e$ :

|y| = C' \cdot (1 - x^2)^{-1/2}

Таким образом, $y$ будет:

y = \frac{C}{\sqrt{1 - x^2}}

Теперь подставим начальные условия $x = 0$ , $y = 4$ :

4 = \frac{C}{\sqrt{1 - 0^2}}

Получаем $C = 4$ . Таким образом, частное решение:

y = \frac{4}{\sqrt{1 - x^2}}

Ответы на вопрос