Вычислите массу Нептуна приняв за единицу измерения массу Земли и зная что спутник Нептуна Тритон отстает от центра планеты на 354 тыс км. а период обращения его равен 5 суткам 21 часу ( вычисление произвести сопоставляя движение спутника Нептуна с движением Луны вокруг Земли) Сидерический период обращения Луны-27,3 сут, большая полуось орбиты 384 000 км

Чтобы вычислить массу Нептуна $M_N$ в единицах массы Земли $M_E$, воспользуемся законом всемирного тяготения и третьим законом Кеплера. Мы будем сравнивать движение Тритона вокруг Нептуна с движением Луны вокруг Земли.

Исходные данные:

1. Для Луны:

   • Сидерический период обращения $T_L = 27,3$ суток.
   • Большая полуось орбиты $a_L = 384\,000$ км.

2. Для Тритона:

   • Период обращения $T_T = 5$ суток 21 час = $5 + \frac{21}{24} = 5,875$ суток.
   • Большая полуось орбиты $a_T = 354\,000$ км.

3. Закон Кеплера (третья форма):

   $$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G M},$$

   где $T$ — период обращения, $a$ — большая полуось орбиты, $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса центрального тела. Для сравнения двух систем, постоянные и $4\pi^2$ сокращаются:

   $$\frac{M_1}{M_2} = \frac{T_2^2 a_1^3}{T_1^2 a_2^3}.$$

4. Цель: Найти $\frac{M_N}{M_E}$.

Шаги вычисления:

1. Применим закон Кеплера:

   $$\frac{M_N}{M_E} = \frac{T_L^2 \cdot a_T^3}{T_T^2 \cdot a_L^3}.$$

2. Подставим значения:

   • $T_L = 27,3$ суток, $T_T = 5,875$ суток,
   • $a_L = 384\,000$ км, $a_T = 354\,000$ км.

   Тогда:

   $$\frac{M_N}{M_E} = \frac{27,3^2 \cdot (354\,000)^3}{5,875^2 \cdot (384\,000)^3}.$$

3. Вычислим отдельно числитель и знаменатель:

   • $T_L^2 = 27,3^2 = 745,29$,
   • $T_T^2 = 5,875^2 = 34,515625$,
   • $a_L^3 = 384\,000^3 = 56,623,104 \cdot 10^9$ км³,
   • $a_T^3 = 354\,000^3 = 44,354,064 \cdot 10^9$ км³.

   Подставим:

   $$\frac{M_N}{M_E} = \frac{745,29 \cdot 44,354,064 \cdot 10^9}{34,515625 \cdot 56,623,104 \cdot 10^9}.$$