Определите среднюю плотность Солнца, если период обращения Земли вокруг Солнца принять равным 365 сут. При расчётах принять радиус земной орбиты равным 150 млн км, а радиус Солнца — 700 тыс. км.

Для определения средней плотности Солнца ($\rho$) можно воспользоваться законами Кеплера и формулой плотности тела. Давайте разберем решение пошагово.

Шаг 1: Используем закон всемирного тяготения и второй закон Кеплера

Из третьего закона Кеплера период обращения планеты ($T$) вокруг Солнца связан с массой Солнца ($M$) следующим образом:

где:

• $T$ — период обращения (в секундах),
• $r$ — радиус орбиты Земли (в метрах),
• $G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}$ — гравитационная постоянная.

Отсюда выражаем массу Солнца:

Шаг 2: Переводим входные данные в единицы СИ

• Период обращения Земли $T = 365 \, \text{суток} = 365 \times 24 \times 60 \times 60 = 31\,536\,000 \, \text{с}.$
• Радиус орбиты Земли $r = 150 \, \text{млн км} = 150 \times 10^9 \, \text{м}.$
• Радиус Солнца $R_\text{Солнца} = 700 \, \text{тыс. км} = 700 \times 10^6 \, \text{м}.$

Шаг 3: Вычисляем массу Солнца

Подставим значения $T$, $r$, и $G$ в формулу для массы $M$:

Выполним промежуточные вычисления:

1. $r^3 = (150 \times 10^9)^3 = 3.375 \times 10^{33} \, \text{м}^3.$
2. $T^2 = (31\,536\,000)^2 = 9.958 \times 10^{14} \, \text{с}^2.$
3. Числитель: $4 \pi^2 r^3 = 4 \cdot (3.1416)^2 \cdot 3.375 \times 10^{33} = 1.333 \times 10^{35}.$
4. Знаменатель: $G T^2 = 6.67 \times 10^{-11} \cdot 9.958 \times 10^{14} = 6.638 \times 10^4.$

Теперь делим:

Шаг 4: Вычисляем среднюю плотность Солнца

Формула средней плотности:

где $V$ — объем Солнца, который вычисляется как объем шара:

Вычислим $V$:

1. $R_\text{Солнца}^3 = (700 \times 10^6)^3 = 3.43 \times 10^{26} \, \text{м}^3.$
2. $V = \frac{4}{3} \pi R_\text{Солнца}^3 = \frac{4}{3} \cdot 3.1416 \cdot 3.43 \times 10^{26} \approx 1.437 \times 10^{27} \, \text{м}^3.$