Видимый с Земли угловой радиус Солнца, измеренный в начале января, максимален и равен 16'17'', а в начале июля минимален и равен 15'45''. Вычислите эксцентритет земной орбиты, перигельное и афелийное расстояние Земли от Солнца. На сколько километров мы ближе к Солнцу в перигелии, чем в афелии

Задача требует вычисления эксцентритета земной орбиты, а также перигелийного и афелийного расстояний Земли от Солнца. Давайте пошагово разберемся, как это можно сделать, основываясь на угловых радиусах Солнца.

1. Понимание задачи и данных

• В начале января угловой радиус Солнца равен 16'17'' (или 16,2833 минуты), что соответствует периоду, когда Земля находится в перигелии (точка орбиты, ближайшая к Солнцу).
• В начале июля угловой радиус Солнца равен 15'45'' (или 15,75 минуты), что соответствует моменту афелия (точка орбиты, самая удаленная от Солнца).

Угловой радиус Солнца меняется, так как Земля движется по эллиптической орбите, и расстояние от Солнца в этих точках тоже различается. Разница в угловых радиусах позволяет нам вычислить эксцентритет орбиты, а затем и расстояния от Земли до Солнца в перигелии и афелии.

2. Вывод эксцентритета

Для начала, угловой радиус Солнца ($\theta$) обратно пропорционален расстоянию от Земли до Солнца ($r$). Это означает, что:

Мы можем записать это для двух различных точек орбиты:

Где:

• $\theta_1$ — угловой радиус Солнца в перигелии,
• $\theta_2$ — угловой радиус Солнца в афелии,
• $r_1$ — расстояние от Земли до Солнца в перигелии,
• $r_2$ — расстояние от Земли до Солнца в афелии.

Измеренные угловые радиусы:

• $\theta_1 = 16'17'' = 16,2833'$,
• $\theta_2 = 15'45'' = 15,75'$.

Теперь подставим эти значения в соотношение:

Решив это уравнение, получим:

Это означает, что расстояние в афелии примерно на 3,4% больше, чем в перигелии. Теперь можно вычислить эксцентритет орбиты.

3. Экспресс-вывод эксцентритета

Эксцентритет земной орбиты ($e$) можно найти через отношение разности расстояний в афелии и перигелии к сумме этих расстояний. То есть:

Пусть $r_1$ — это перигелийное расстояние, а $r_2$ — афелийное расстояние. Из предыдущего уравнения мы знаем, что $r_2 = 1,034 \times r_1$. Подставим это в формулу для эксцентритета:

Сократим на $r_1$:

Таким образом, эксцентритет земной орбиты составляет примерно $e \approx 0,0167$.

4. Перигелийное и афелийное расстояния

Теперь, зная эксцентритет орбиты, можно вычислить перигелийное и афелийное расстояния от Земли до Солнца. Среднее расстояние Земли от Солнца (большая полуось орбиты) составляет около 149,6 миллионов километров (астрономическая единица, AU).

• Перигелийное расстояние $r_1 = a(1 - e)$,
• Афелийное расстояние $r_2 = a(1 + e)$,

где $a = 149,6$ млн км — среднее расстояние от Земли до Солнца.

Подставим значения:

5. Разница в расстояниях

Разница в расстояниях между Землей и Солнцем в перигелии и афелии: