Что происходит с электронами металла при возникновении в нём электрического поля?

Коротко: свободные электроны получают направленное (дрейфовое) движение под действием поля.

Чуть подробнее по шагам:

1. В металле уже есть много свободных электронов, которые без поля движутся хаотично с тепловыми скоростями. Средняя скорость равна нулю.

2. Когда в металле создают электрическое поле E, на каждый электрон действует сила F = −eE (знак минус, потому что заряд отрицательный). Между столкновениями с ионами кристаллической решётки электрон успевает разогнаться, но при столкновении теряет упорядоченную часть скорости. В итоге устанавливается маленькая, но ненулевая дрейфовая скорость:

   $$\vec v_d = -\frac{e\tau}{m}\,\vec E$$

   где $\tau$ — среднее время между столкновениями. Направление дрейфа — противоположно полю.

3. Совокупность таких дрейфов даёт электрический ток. Связь плотности тока и поля:

   $$\vec J = n e \vec v_d = \sigma\,\vec E$$

   где $n$ — концентрация носителей, $\sigma = n e^2 \tau / m$ — проводимость.

4. Почти мгновенно происходит перераспределение зарядов у поверхности проводника: в чисто электростатическом равновесии внутреннее поле металла равно нулю. Но если к проводнику приложено напряжение и через него течёт ток, внутри поддерживается слабое, но конечное поле, которое и «толкает» электроны, а столкновения с решёткой создают сопротивление и выделение тепла (джоулево тепло).

Итого: под действием электрического поля электроны металла перестают быть статистически симметричными и начинают медленно дрейфовать (в среднем — против направления поля), формируя ток; их направленное ускорение между столкновениями уравновешивается рассеивающими столкновениями с решёткой.