Сосуд состоит из резервуара и горлышка, площадь сечения которого равна S = 0,204 мм². В этом сосуде находится жидкость, объём которой V₀ = 400 мм³, а коэффициент объёмного расширения β = 0,000051. Объём жидкости настолько велик, что она уже находится в горлышке сосуда на расстоянии Δl = 13,8 мм от его края. На сколько градусов должна увеличиться температура, чтобы жидкость начала выливаться из сосуда?

Дано:

• Площадь поперечного сечения горлышка: $S = 0{,}204\text{ мм}^2$.

• Начальный объём жидкости: $V_0 = 400\text{ мм}^3$.

• Коэффициент объёмного расширения жидкости: $\beta = 0{,}000051\text{ °C}^{-1}$.

• Расстояние от уровня жидкости до края горлышка: $\Delta l = 13{,}8\text{ мм}$.

Найти: на сколько градусов необходимо повысить температуру $\Delta T$, чтобы жидкость начала выливаться из сосуда.

Решение

При нагревании жидкость расширяется, то есть её объём увеличивается. Чтобы жидкость начала выливаться из сосуда, она должна полностью заполнить свободное пространство в горлышке.

1. Найдём объём свободного пространства в горлышке сосуда.

Поскольку горлышко имеет постоянную площадь поперечного сечения, его свободный объём можно вычислить по формуле:

Подставим известные значения:

Следовательно, чтобы жидкость достигла края горлышка, её объём должен увеличиться на $2{,}8152\text{ мм}^3$.

2. Используем закон объёмного теплового расширения жидкости.

При изменении температуры увеличение объёма жидкости определяется формулой:

где:

• $\Delta V$ — увеличение объёма жидкости;

• $\beta$ — коэффициент объёмного расширения;

• $V_0$ — первоначальный объём жидкости;

• $\Delta T$ — изменение температуры.

Выразим из формулы изменение температуры:

3. Подставим числовые значения.

Сначала вычислим знаменатель:

Тогда:

Ответ

Температуру необходимо повысить на 138 °C, чтобы жидкость заполнила оставшееся пространство в горлышке и начала выливаться из сосуда.

В решении предполагается, что тепловым расширением самого сосуда можно пренебречь.