Грузовик, длина которого L = 30 м, движется по трассе со скоростью vг = 90 км/ч. Его догоняет легковой автомобиль, движущейся со скоростью vл= 108 км/ч. Оцените в момент начала обгона минимальное расстояние S до встречного автомобиля, который движется со скоростью vвст = 108км/ч, для безопасного совершения манёвра. Условия для безопасного обгона примите следующие:
- расстояние от обгоняющего автомобиля до грузовика в момент начала и завершения обгона l = 10 м,
- расстояние от обгоняющего автомобиля до встречного в момент завершения манёвра s = 100м.

Для решения задачи оценим минимальное расстояние до встречного автомобиля, необходимое для безопасного завершения манёвра.

1. Исходные данные:

   • Длина грузовика $L = 30$ м,
   • Скорость грузовика $v_{\text{г}} = 90 \, \text{км/ч}$,
   • Скорость легкового автомобиля $v_{\text{л}} = 108 \, \text{км/ч}$,
   • Скорость встречного автомобиля $v_{\text{вст}} = 108 \, \text{км/ч}$,
   • Расстояние от легкового автомобиля до грузовика в момент начала и завершения обгона $l = 10 \, \text{м}$,
   • Расстояние до встречного автомобиля в момент завершения обгона $s = 100 \, \text{м}$.

2. Определение длины обгона: Чтобы полностью обогнать грузовик, легковому автомобилю необходимо проехать следующие расстояния:

   • расстояние до грузовика в момент начала обгона $l = 10 \, \text{м}$,
   • длину самого грузовика $L = 30 \, \text{м}$,
   • расстояние от легкового автомобиля до грузовика после завершения обгона $l = 10 \, \text{м}$.

   Итак, общее расстояние, которое должен проехать легковой автомобиль для завершения манёвра, равно:

   $$S_{\text{обгон}} = l + L + l = 10 \, \text{м} + 30 \, \text{м} + 10 \, \text{м} = 50 \, \text{м}.$$

3. Относительная скорость легкового автомобиля и грузовика: Поскольку оба транспортных средства движутся в одном направлении, важна их относительная скорость. Она равна разности скоростей:

   $$v_{\text{отн}} = v_{\text{л}} - v_{\text{г}} = 108 \, \text{км/ч} - 90 \, \text{км/ч} = 18 \, \text{км/ч} = 5 \, \text{м/с}.$$

   Важно заметить, что 1 км/ч = 1/3.6 м/с, поэтому 18 км/ч = 5 м/с.

4. Время обгона: Теперь определим время, за которое легковой автомобиль преодолеет расстояние $S_{\text{обгон}} = 50 \, \text{м}$ при относительной скорости $v_{\text{отн}} = 5 \, \text{м/с}$:

   $$t_{\text{обгон}} = \frac{S_{\text{обгон}}}{v_{\text{отн}}} = \frac{50 \, \text{м}}{5 \, \text{м/с}} = 10 \, \text{с}.$$

5. Скорость сближения со встречным автомобилем: Встречный автомобиль движется навстречу легковому автомобилю с относительной скоростью:

   $$v_{\text{сбл}} = v_{\text{л}} + v_{\text{вст}} = 108 \, \text{км/ч} + 108 \, \text{км/ч} = 216 \, \text{км/ч} = 60 \, \text{м/с}.$$

6. Минимальное расстояние до встречного автомобиля: Чтобы манёвр был безопасным, легковой автомобиль должен завершить обгон за время $t_{\text{обгон}} = 10 \, \text{с}$. За это время встречный автомобиль проедет расстояние:

   $$S_{\text{вст}} = v_{\text{сбл}} \times t_{\text{обгон}} = 60 \, \text{м/с} \times 10 \, \text{с} = 600 \, \text{м}.$$

   Однако в момент завершения манёвра до встречного автомобиля должно оставаться 100 метров, что уже учтено в условиях задачи. Следовательно, минимальное необходимое расстояние до встречного автомобиля в момент начала обгона составляет:

   $$S_{\text{мин}} = S_{\text{вст}} + s = 600 \, \text{м} + 100 \, \text{м} = 700 \, \text{м}.$$

Таким образом, минимальное расстояние до встречного автомобиля в момент начала обгона для безопасного завершения манёвра составляет 700 метров.