Побывать в Астрахани или Астрахане

Правильный вариант — "побывать в Астрахани". Это связано с особенностями русского языка, где для географических названий, оканчивающихся на "-а", используется предлог "в". В данном случае речь идет о городе Астрахань, поэтому следует употреблять предлог "в".

Форма "в Астрахане" используется в другом контексте, например, в сочетаниях типа "в Астрахане была хорошая погода", где "Астрахань" обозначает местоположение, а "Астрахане" — это творительный падеж. Но для выражения действия "побывать" правильно будет использовать "в Астрахани".