Не успеваем многое или не успеваем многого?

Правильный вариант — «не успеваем многого».

Разберёмся подробнее. Глагол «успевать» в данном контексте употребляется с родительным падежом, когда речь идёт о неполноте действия или отрицании. А в отрицательной форме («не успеваем») глаголы часто требуют родительного падежа, особенно когда говорится о части чего-то, а не о целом.

Сравните:

• «Мы не успеваем многого» — правильно. Здесь подчёркивается, что часть дел остаётся невыполненной, и это выражается через родительный падеж (многого).

• «Мы не успеваем многое» — звучит разговорно и может встречаться в устной речи, но с точки зрения литературной нормы — неправильно.

Такой же принцип работает и с другими словами:

• «Он не понял всего» (а не «всё»).

• «Я не добился большого» (а не «большое»).

Итак, правильная форма — «не успеваем многого», поскольку при отрицании используется родительный падеж.