Падежи — это форма слова, показывающая его роль в предложении. У существительных падеж меняет окончание самого существительного, у прилагательных — окончание прилагательного, и они обязаны «согласоваться»: одинаковые число, род (в ед. числе) и падеж.

Какие падежи бывают и какие вопросы задаём

• Именительный (кто? что?) — подлежащее: студент читает, новая книга лежит.

• Родительный (кого? чего?) — принадлежность, отсутствие, часть целого: нет времени, кусок хлеба, край стола.

• Дательный (кому? чему?) — адресат: подарок другу, помощь ребёнку.

• Винительный (кого? что?) — прямой объект: читать книгу, встретить друга.

• Творительный (кем? чем?) — инструмент/совместность: писать ручкой, идти с другом.

• Предложный (о ком? о чём?) — тема речи/место с предлогами: говорить о фильме, в городе, на столе.

Типичные предлоги:

• Р.: без, у, от, до, после, для, из, с(=изнутри), около, возле.

• Д.: к, по (по дороге, по адресу).

• В.: в, на, за, через, про (направление/объект).

• Тв.: с, за, над, под, между, перед.

• Пр.: о/об/обо, в, на, при (место/тема).

Прилагательные: окончания по падежам

Покажу на парах новый/синий (твёрдая/мягкая модель).

Единственное число

• М.р.:
  И. новый/синий дом
  Р. нового/синего дома
  Д. новому/синему дому
  В. неодуш. = И.: новый/синий дом; одуш. = Р.: нового/синего друга
  Т. новым/синим домом
  Пр. о новом/о синем доме

• Ж.р.:
  И. новая/синяя книга
  Р./Д./Пр. новой/синей книги
  В. новую/синюю книгу
  Т. новой/синей (допустимо разговорное -ою/-ею)

• Ср.р.:
  И./В. новое/синее окно
  Р. нового/синего окна
  Д. новому/синему окну
  Т. новым/синим окном
  Пр. о новом/о синем окне

Множественное число (для всех родов)

• И. новые/синие

• Р. новых/синих

• Д. новым/синим

• В. неодуш. = И.: новые/синие; одуш. = Р.: новых/синих

• Т. новыми/синими

• Пр. о новых/о синих

Важно про винительный и одушевлённость.
У прилагательных в м.р. ед.ч. и во мн.ч. формы зависят от одушевлённости: вижу нового учителя / вижу новых студентов, но вижу новый стол / вижу новые столы.

Краткие прилагательные (высок, права, умно, готовы) по падежам не изменяются, только по роду/числу; употребляются в сказуемом: дом высок; задачи готовы.

Существительные: основные модели склонения

Удобно помнить три «склонения» (типа):

1-е склонение — чаще ж.р. на -а/-я (иногда м.р.: папа).
Ед.ч.: И. книга, Р. книги, Д. книге, В. книгу, Т. книгой, Пр. о книге.
Мн.ч.: И. книги, Р. чаще книг/недель (варианты -Ø, -ей), Д. книгам, В. неодуш. книги / одуш. = Р.: девушек, Т. книгами, Пр. о книгах.

2-е склонение — м.р. с нулевым окончанием (стол, дом, музей) и ср.р. на -о/-е (окно, море).
М.р. ед.ч.: И. стол, Р. стола, Д. столу, В. неодуш. стол / одуш. стола, Т. столом, Пр. о столе.
Ср.р. ед.ч.: И./В. окно, Р. окна, Д. окну, Т. окном, Пр. об окне.
Мн.ч.:
— м.р. И. столы, Р. обычно столов/карандашей, Д. столам, В. неодуш. столы / одуш. = Р., Т. столами, Пр. о столах;
— ср.р. И. часто -а/-я: окна, поля, Р. обычно окон/полей, Д. окнам/полям, В. неодуш. = И., Т. окнами/полями, Пр. об окнах/о полях.

3-е склонение — ж.р. на мягкий знак: ночь, тетрадь (и исключение путь, м.р.).
Ед.ч.: И. ночь, Р. ночи, Д. ночи, В. ночь, Т. ночью, Пр. о ночи.
Мн.ч.: И. ночи, Р. обычно ночей, Д. ночам, В. неодуш. ночи / одуш. = Р., Т. ночами, Пр. о ночах.

Акузатив и одушевлённость у существительных.
— М.р. ед.ч.: вижу стол (неод.) / вижу столА? — правильно: вижу стола (одуш. не бывает у «стол», но по правилу — форму Р.п.). Например: вижу брата (Р.п.).
— Мн.ч. для всех родов: вижу дома/книги/окна (неод.) vs вижу братьев/людей/мышей (одуш. = Р.п.).

Мини-шпаргалка «прилагательное + существительное»

(по три рода и мн. число на одном словаре)

Именительный: новый стол, новая книга, новое окно; новые столы/книги/окна.
Родительный: нет нового стола, нет новой книги, нет нового окна; нет новых столов/книг/окон.
Дательный: к новому столу, к новой книге, к новому окну; к новым столам/книгам/окнам.
Винительный:
— неодуш.: новый стол, новую книгу, новое окно; новые столы/книги/окна;
— одуш.: нового друга; новых студентов.
Творительный: с новым столом, с новой книгой, с новым окном; с новыми столами/книгами/окнами.
Предложный: о новом столе, о новой книге, о новом окне; о новых столах/книгах/окнах.

Полезные частные случаи и мелочи

• Локатив (второй предложный): у небольшой группы слов вместо обычного -е употребляется -у/-ю для места: в саду, в лесу, на мосту, в шкафу, в снегу, в аэропорту.

• Правописание -ого/-его в Р./В. одуш. м.р. и Р. мн.: пишется -ого/-его, произносится как [ава]/[ева]: нового, синего, хорошего, этих.

• Варианты Р. мн. сильно зависят от слова: яблок (нулевое окончание), столов, карандашей, людей, детей.

• Одушевлённость относится к лексическому значению: кот, человек — одуш.; стол, воздух — неодуш.; это влияет на В.п.

• Краткие прилагательные не используются перед существительным (дом высок, но не высок дом в роли определения).

Если держать в голове вопросы падежей и правило согласования «прилагательное всегда повторяет у существительного число, род (в ед.ч.) и падеж», ошибок станет гораздо меньше.