Коротко: после шипящих (ж, ч, ш, щ) под ударением пишем либо о, либо ё. Выбор зависит от морфологии слова; без ударения пишем е. Ниже — рабочие правила с примерами.

В корне слова под ударением

1) Пишем Ё, если в родственных словах/формах есть Е (идёт чередование ё/е).
Это самый надёжный «тест на однокоренное Е».

• шёпот — шептать, шепчет

• шёлк — шелковый

• жёлтый — желтеть, желтизна

• чёрный — чернеть, чернёвый (разг.)

• щётка — щетина

• щёлкать — щелчок

• чёлка, чёлн

• жёлоб, жёлчь, жёлудь

• жёрдочка (от жердь)

Замечание: буква ё всегда под ударением.

2) Пишем О, если такого чередования нет (то есть рядом «проверочного» Е нет и не ожидается).

• шов, шорох, шок, шоколад, шоссе, шомпол, шорты

• капюшон, трущоба, кружок, крыжовник

• чопорный, чопик, плечо

• девчонка, книжонка, чужой, ничтожный

Отдельно: наречие ещё традиционно пишется с ё.

В суффиксах и окончаниях

3) Краткие прилагательные ср. рода и наречия на -о: всегда О
горячо, свежо, хорошо, чуждо (разг.).

4) Уменьшительные/оценочные суффиксы после шипящих чаще дают О:
-ок-, -очк-, -онк- → кружок, платочек, девчонка, книжонка.
(Сравните: печёнка — тут уже корень с ё от печь, т.е. правило из раздела про корень.)

5) Суффикс -ёнок/-онок (детёныш): пишется по общему правилу, а не «из-за шипящих». После твёрдых согласных (в т.ч. ж, ш) обычно -онок: мышонок, лягушонок, ежонок, медвежонок; после мягких — -ёнок: львёнок, воронёнок. Если без ударения, будет -енок (щенок).

Без ударения

6) Без ударения после шипящих пишется Е, даже если под ударением бывает Ё:
шелковый, желтеть, чернеть, щетина, шептать.

Что запомнить как «частотный словарь Ё»

Чтобы рука сама тянулась к ё: шёпот, шёлк, жёлтый, чёрный, щётка, щёка, щёлкать, чёлка, чёлн, жёлоб, жёлчь, жёлудь, жёрдочка, ещё.

Памятка в одну строку

Под ударением в корне после ж/ч/ш/щ: Ё, если есть родственное с Е; иначе О. В суффиксах-уменьшителях после шипящих чаще О. В безударной позиции — Е.