В пустыне — какой падеж?

Это предложный падеж (ед. число, ж. род) — форма «в пустыне» отвечает на вопрос где?
Для сравнения:

• в пустыню — винительный (направление, куда?)

• из пустыни — родительный (откуда?)

• к пустыне — дательный (к чему?)

• перед пустыней / с пустыней — творительный (чем? с чем?)

Значение «находиться в месте» с предлогом в обычно требует предложного: «жить в пустыне», «оказались в пустыне».