Какой падеж у слова "зеленью"?

Это форма творительного падежа, единственное число.

Почему так: существительное зелень — женского рода, 3-е склонение (основа на мягкий согласный, нулевая флексия в им. падеже: зелень). Для таких слов окончание -ью в форме ед. числа — типичный показатель творительного падежа: с зеленью, над зеленью, перед зеленью (отвечает на вопросы кем? чем? — чем? зеленью).

Для ориентира формы ед. числа:

• им. п.: зелень

• род. п.: зели/зелени (вариантно)

• дат. п.: зели/зеленИ

• вин. п.: зелень

• твор. п.: зеленью

• предл. п.: о зелени

Пример: Суп пахнет свежей зеленью — здесь «зеленью» в творительном падеже.