Какой падеж у слова "на тропинке"? Предложный?

Короткий ответ: да, это предложный падеж.

Пояснение. В форме «на тропинке» существительное тропинка (ж. р., 1-е склонение) стоит в предложном падеже, ед. числе с предлогом на. Окончание -е — типичный показатель предложного падежа у существительных 1-го склонения. Семантически здесь выражено значение места («где?»), то есть это предложный падеж с локативным значением: на чём? — на тропинке. Для сравнения: «говорить о тропинке» — тоже предложный падеж, но со значением темы («о чём?»).