Какой падеж у слова "по траве"?

Это дательный падеж.

Разбираю: предлог «по» в значении движения/распределения по поверхности или в пределах чего-то управляет дательным падежом и отвечает на вопрос «по чему?» → по траве.
Форма «траве» совпадает с формой предложного падежа (как в «о траве», «на траве»), но определить падеж помогает именно предлог и вопрос: «идти по чему? — по траве» → дательный.

Для сравнения:

• о траве, на траве — предложный падеж (вопрос «о чём? где?»);

• по траве — дательный падеж (вопрос «по чему?»).