«Деми» — твёрдая или мягкая?

Коротко: в слове «деми» буква Е делает предыдущий согласный мягким. То есть не сама «Е» мягкая или твёрдая (у гласных нет мягкости/твёрдости) — мягким становится д.

Как это работает по-русски:

• Буква Е обычно передаёт звук [е] и смягчает предыдущий согласный: де → [дʲе].

• В начале слова или после гласной/ь/ъ Е даёт йотовый элемент [й]: Ева [йэ-], подъём [йо-].

• Есть важные оговорки: после ж, ш, ц буква Е не смягчает (произносится ближе к [э]): жена, шесть, рецепт. После ч, щ мягкость и так «вшита» в согласные.

Поэтому «деми» произносится как [дʲе-ми] (приблизительно «дье-ми»), где д мягкое из-за Е.