Как правильно пишется: "лежу" или "ляжу"?

Правильный вариант написания — "лежу".

Слово "лежу" является формой первого лица единственного числа настоящего времени глагола "лежать". Например: Я лежу на диване и читаю книгу.

Формы "ляжу" в русском языке не существует. Это распространённая ошибка, которая возникает по аналогии с глаголами вроде "сесть" — "сяду", "лечь" — "лягу". Однако "лежать" — это недвижный, непереходный глагол несовершенного вида, и его спряжение не меняется по той же модели, что у глагола "лечь" (совершенного вида).

Вот пример спряжения глагола "лежать":

• я лежу

• ты лежишь

• он/она/оно лежит

• мы лежим

• вы лежите

• они лежат

А глагол "лечь" (совершенный вид) действительно имеет форму "лягу":

• я лягу

• ты ляжешь

• он/она/оно ляжет
  и так далее.

Таким образом, "лежу" — это правильно, а "ляжу" — грамматически неверная форма.