Как правильно: блеснул костёр или блестнул костёр? И какое проверочное слово?

Правильно говорить «блеснул костёр».

Слово «блеснул» образовано от глагола «блеснуть», что означает «внезапно, коротко сверкнуть светом, светиться». Это слово описывает краткое проявление яркого света, как, например, может произойти при внезапном разгорании костра. Именно в этом значении оно уместно в фразе «блеснул костёр», если речь идёт о том, что костёр вспыхнул, сверкнул огнём.

Форма «блестнул» тоже встречается в речи, но считается устаревшей или просторечной и не является литературной нормой. Поэтому в письменной речи и на экзаменах правильным будет использовать форму «блеснул».

Что касается проверочного слова, то тут стоит понимать, что «блеснул» — это глагол совершенного вида, от которого образуются формы вроде «блеск» (существительное), «блестеть» (несовершенный вид). Но несмотря на близость, «блестеть» и «блеснуть» — это разные формы одного корня, и проверкой правильности написания здесь служит знание нормы литературного языка, а не стандартный способ подбора проверочного слова по аналогии с орфографией.

Итак, правильно: блеснул костёр. Проверочным словом можно считать блеск или блеснуть, так как именно они отражают норму.