3) Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, К, Р, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка: 1. ААААА
2. ААААК
3. ААААР
4. ААААУ
5. АААКА
……
Какое количество слов находятся между словами РУКАА и УКАРА (включая эти слова)?

Чтобы решить эту задку, нам нужно понять, как устроены слова в данном списке и как определить их позиции в алфавитном порядке. У нас есть 4 различные буквы: А, К, Р, У. Мы составляем все возможные 5-буквенные комбинации из этих букв и упорядочиваем их алфавитно.

Для начала найдем позицию слова РУКАА. В алфавитном порядке сначала идут все слова, начинающиеся на А, затем все слова на К, далее на Р, и в конце на У. В каждой из этих групп слова также упорядочены алфавитно. Поскольку Р идет третьим в алфавите из нашего набора, слова на Р начнутся после всех слов на А и К.

Сначала рассчитаем количество всех слов, начинающихся на А и К:

• Слова на А: 4 варианта для второй буквы * 4 варианта для третьей * 4 для четвертой * 4 для пятой = $4^4$ слов.
• Слова на К: аналогично, $4^4$ слов.

Таким образом, перед первым словом на Р будет $2 \times 4^4$ слов.

Теперь определим, как много слов на Р идут до РУКАА:

• РА...: $4^3$ слов (для каждой из оставшихся букв 4 варианта).
• РК...: $4^3$ слов.
• РР...: $4^3$ слов.
• РУ...: Здесь нужно быть внимательнее, так как после РУ следующая буква А, что минимально возможно, поэтому считаем только слова РУААА.

Таким образом, перед РУКАА будет $3 \times 4^3 + 1$ слов на Р.

Теперь, используя аналогичный подход, найдем позицию слова УКАРА. Перед ним будут все слова на А, К и Р, а также слова на У до УКАРА:

• УА...: $4^3$ слов.
• УК...: Здесь после УК следует А, поэтому мы считаем слова начиная с УКААА и до УКАРА (не включая его).

Сложим все эти числа, чтобы получить позиции для РУКАА и УКАРА, а затем вычтем одно из другого и прибавим 1, чтобы учесть оба конечных слова.

Давайте выполним эти вычисления.

Позиция слова РУКАА в списке — 705, а позиция слова УКАРА — 836. Это означает, что между словами РУКАА и УКАРА (включая их) находится 132 слова. ​​