49) Вася составляет 3-буквенные слова, в которых есть только буквы К, А, Т, Е, Р, причём буква Р используется в каждом слове хотя бы 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

Для решения задачи определим, какие буквы используются, и какие условия нам заданы:

1. Допустимые буквы: К, А, Т, Е, Р.
2. Длина слова: 3 буквы.
3. Буква "Р" должна использоваться хотя бы 2 раза.

Поскольку длина слова — 3 буквы, нам нужно учитывать все возможные сочетания, где буква "Р" встречается 2 или 3 раза.

Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: Буква "Р" встречается ровно 2 раза

Если "Р" встречается ровно 2 раза, то третья буква может быть любой из оставшихся (К, А, Т, Е).

• Выберем позиции для двух "Р". Это можно сделать с помощью сочетаний:

  $$C_3^2 = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$$

• На оставшуюся третью позицию можно поставить одну из 4 букв (К, А, Т, Е).

  Таким образом, количество вариантов для этого случая будет равно:

  $$3 \times 4 = 12$$

Случай 2: Буква "Р" встречается 3 раза

Если "Р" встречается во всех трёх позициях, то слово имеет вид "РРР". Здесь возможен только один вариант.

Объединение случаев

Теперь сложим количество слов из обоих случаев:

• Случай 1: 12 вариантов.
• Случай 2: 1 вариант.

Итоговое количество слов:

Таким образом, Вася может составить 13 трёхбуквенных слов, в которых буква "Р" встречается хотя бы 2 раза.