1. Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойства системы счисления. 2. Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?

1. Определение и свойства

Система счисления — это согласованный набор правил и символов (алфавит), позволяющий записывать и однозначно интерпретировать числа.

Ключевые свойства позиционных систем (к ним относятся двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная):

• Основание (radix) p: целое число p ≥ 2, определяющее «шаг» разрядов (в двоичной p=2, в восьмеричной p=8, в шестнадцатеричной p=16).

• Алфавит цифр: ровно p символов-цифр; значения цифр лежат в диапазоне от 0 до p−1.

• Позиционный принцип: значение числа — сумма цифр, умноженных на степени основания.
  Для целой части: $N=\sum_{k=0}^{m} a_k\,p^{k}$, где $a_k$— цифры.
  Для дробной части: $\sum_{j=1}^{n} b_j\,p^{-j}$.

• Вес разряда: каждый следующий слева разряд имеет вес, умноженный на p (…, $p^3, p^2, p^1, p^0, p^{-1}, …$).

• Единственность записи: при отсутствии несущественных ведущих нулей число имеет единственную запись данным алфавитом и основанием.

• Наличие нуля: цифра 0 обязательна; она позволяет обозначать отсутствие единиц соответствующего разряда.

• Правила переноса: при выполнении операций, как только в разряде накапливается p единиц, выполняется перенос 1 в следующий разряд.

• Разделение целой и дробной части: используется фиксированный разделитель (в информатике обычно точка); порядок записи — от старших разрядов слева к младшим справа.

• Представимость: любое натуральное число можно записать конечной последовательностью цифр; дробные — конечной или бесконечной (периодической/непериодической) последовательностью после разделителя.

• Связь между системами: если основания — степени друг друга (например, 2 и 8, 2 и 16), перевод выполняется группировкой разрядов (по 3 бита для восьмеричной, по 4 бита для шестнадцатеричной).

2. Какие символы используются

• Двоичная (p=2): цифры 0, 1.

• Восьмеричная (p=8): цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

• Шестнадцатеричная (p=16): цифры 0–9 и буквы A, B, C, D, E, F (часто допускаются и строчные a–f), где A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.