20 баллов
Сумма 10000 рублей положена в сберегательный банк, при этом прирост составляет 5% годовых. Составьте алгоритм, определяющий, через какой промежуток
времени первоначальная сумма увеличится в два раза.

Для решения задачи будем использовать формулу расчета сложных процентов, так как прирост происходит ежегодно, и мы хотим определить, сколько лет потребуется, чтобы сумма удвоилась. В данном случае начальная сумма вклада увеличивается на фиксированный процент каждый год.

Обозначим параметры задачи:

• Начальная сумма $S_0 = 10000$ рублей.
• Годовая процентная ставка $p = 5\%$, что в десятичных дробях составляет $0.05$.
• Целевая сумма $S_{\text{цел}} = 2 \times S_0 = 20000$ рублей.

Формула для расчета итоговой суммы при сложном проценте выглядит следующим образом:

где:

• $S$ — итоговая сумма через $n$ лет;
• $S_0$ — начальная сумма;
• $p$ — годовая процентная ставка (в долях);
• $n$ — количество лет, которые нужно определить.

Чтобы удвоить сумму, нужно решить уравнение:

Можно упростить это уравнение, поделив обе стороны на $S_0$:

Теперь нужно найти $n$, при котором левая и правая части уравнения станут равны. Это достигается логарифмическим методом, так как мы ищем степень:

Подставим значения:

• $p = 0.05$.

Вычислим $n$:

Таким образом, $n \approx 14.21$, то есть потребуется чуть более 14 лет, чтобы сумма удвоилась.

Итоговый ответ:

При процентной ставке 5% годовых начальная сумма 10000 рублей удвоится примерно через 14 лет и 2–3 месяца.