В какой системе счисления справедливо равенство?
456
+
31
___
520

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно определить, в какой системе счисления выражение $456 + 31 = 520$ будет справедливым. Давайте разберемся, как это сделать.

Шаг 1. Анализ записи чисел

Для того чтобы понять, в какой системе счисления должно быть выражено равенство, нужно помнить, что цифры в числах ограничены основанием системы. Например, в системе с основанием 8 (восьмеричной) могут использоваться только цифры от 0 до 7, а в системе с основанием 10 (десятичной) — от 0 до 9.

На первый взгляд, видно, что цифры в числе 456 не превышают 6. Это значит, что основание системы счисления должно быть как минимум 7. При этом числа 456 и 31 нужно интерпретировать как числа в системе счисления $N$, а не в десятичной.

Шаг 2. Перевод чисел в десятичную систему

Рассмотрим числа $456$, $31$ и $520$ в системе счисления с основанием $N$ и переведем их в десятичную систему для упрощения.

1. $456$ в системе с основанием $N$:

   $$4 \cdot N^2 + 5 \cdot N + 6$$

2. $31$ в системе с основанием $N$:

   $$3 \cdot N + 1$$

3. $520$ в системе с основанием $N$:

   $$5 \cdot N^2 + 2 \cdot N + 0$$

Шаг 3. Составление уравнения

Подставим все полученные выражения в уравнение $456 + 31 = 520$ и раскроем его:

Упрощаем левую часть уравнения:

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

Шаг 4. Решение квадратного уравнения

Полученное уравнение $N^2 - 6N - 7 = 0$ является квадратным. Решим его с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Получаем два решения:

1. $N = \frac{6 + 8}{2} = 7$
2. $N = \frac{6 - 8}{2} = -1$ (отрицательное значение не подходит для основания системы счисления)

Ответ

Таким образом, единственное подходящее значение для $N$ — это 7. Значит, равенство $456 + 31 = 520$ будет справедливым в системе счисления с основанием 7.