Даны координаты трёх вершин треугольника (x1 , y1) , (x2, y2) , (x3, y3) . Найти его периметр и площадь, используя формулу для расстояния между двумя точками на плоскости. Для нахождения площади треугольника со сторонами a, b, c использовать формулу Герона: где p — полупериметр треугольника: .

Для нахождения периметра и площади треугольника по его координатам воспользуемся следующим пошаговым решением.

1. Найдём длины сторон треугольника

Пусть у нас есть координаты вершин треугольника: $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$.

Для нахождения длины сторон воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости:

Обозначим длины сторон:

• Сторона $a$ — расстояние между точками $B(x_2, y_2)$ и $C(x_3, y_3)$:

  $$a = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2}$$

• Сторона $b$ — расстояние между точками $A(x_1, y_1)$ и $C(x_3, y_3)$:

  $$b = \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2}$$

• Сторона $c$ — расстояние между точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$:

  $$c = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

2. Находим периметр треугольника

Периметр $P$ треугольника равен сумме длин его сторон:

3. Вычисляем полупериметр треугольника

Полупериметр $p$ необходим для нахождения площади по формуле Герона. Он равен:

4. Находим площадь треугольника по формуле Герона

Формула Герона для площади треугольника $S$, стороны которого равны $a$, $b$, и $c$, выглядит так:

где $p$ — полупериметр, вычисленный ранее.

Пример

Рассмотрим пример для закрепления.

Допустим, у нас есть треугольник с координатами вершин:

• $A(1, 2)$
• $B(4, 6)$
• $C(5, 3)$

1. Вычислим длины сторон:

   • $a = \sqrt{(5 - 4)^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
   • $b = \sqrt{(5 - 1)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$