Улитка ползёт по вертикальному шесту высотой h метров, поднимаясь за день на a метров, а за ночь спускаясь на b метров. На какой день улитка доползёт до вершины шеста?

Входные данные
Программа получает на вход натуральные числа h, a, b. Гарантируется, что a>b.

Выходные данные
Программа должна вывести одно натуральное число.

Примечание
При решении этой задачи нельзя пользоваться условной инструкцией if и циклами.

Примеры
входные данные
10
3
2
выходные данные
8
входные данные
20
7
3
выходные данные
5

Для решения задачи, где улитка ползёт по шесту, поднимаясь за день и спускаясь ночью, нужно понять, сколько дней потребуется, чтобы улитка достигла вершины.

Описание задачи:

• Улитка ежедневно поднимается вверх на $a$ метров, но за ночь спускается на $b$ метров.
• Высота шеста — $h$ метров.
• Гарантируется, что $a > b$, т.е. за день улитка поднимается больше, чем опускается за ночь.

Так как нельзя использовать условные инструкции и циклы, можно решить задачу, используя математические преобразования.

Анализ движения улитки

Пусть $a$ — это дневной подъём, а $b$ — ночной спуск. Тогда эффективное продвижение улитки за день с учётом ночного спуска составит $a - b$ метров.

Суть решения

Улитка движется по шесту с чистым подъёмом на $a - b$ метров каждый день. Однако в последний день она достигнет вершины шеста, не спускаясь ночью. Поэтому нужно определить количество дней до того момента, когда улитка поднимется на высоту $h$ или более метров без необходимости спуска.

Формула

1. Если улитке нужно подняться на высоту $h$, то за последние сутки она достигнет вершины, поднявшись на $a$ метров, без учёта ночного спуска.

2. Это означает, что до последних суток ей нужно покрыть высоту $h - a$ метров (на которую она поднимется за предыдущие полные дни).

3. За каждый день, кроме последнего, улитка проходит $a - b$ метров, поэтому количество полных дней, которые понадобятся для преодоления $h - a$ метров, равно $\text{ceil}((h - a) / (a - b))$, где $\text{ceil}$ — это округление вверх.

4. Наконец, добавляем 1 день (последний день), когда улитка окончательно поднимется на вершину без спуска.

Итоговая формула:

Где $\text{ceil}(x)$ можно представить как целочисленное деление с округлением вверх: $(x + y - 1) // y$ для $x / y$.

Пример кода на Python

Этот код решает задачу, не используя условных операторов или циклов:

python
import math
def days_to_reach_top(h, a, b):
    return math.ceil((h - a) / (a - b)) + 1

Примеры

1. Входные данные: $h = 10$, $a = 3$, $b = 2$

   • Нужно преодолеть $h - a = 10 - 3 = 7$ метров за полные дни.
   • Каждый день улитка преодолевает $a - b = 3 - 2 = 1$ метр.
   • $\text{days} = \text{ceil}(7 / 1) + 1 = 7 + 1 = 8$.
   • Выход: $8$.

2. Входные данные: $h = 20$, $a = 7$, $b = 3$

   • Нужно преодолеть $h - a = 20 - 7 = 13$ метров за полные дни.
   • Каждый день улитка преодолевает $a - b = 7 - 3 = 4$ метра.
   • $\text{days} = \text{ceil}(13 / 4) + 1 = 4 + 1 = 5$.
   • Выход: $5$.

Таким образом, формула позволяет рассчитать количество дней для достижения вершины без использования условий и циклов.