Один мудрец писал: «Мне 33 года. Моей матери 124 года, а отцу 131 год. Вместе нам 343 года». Какую систему счисления использовал мудрец и сколько ему лет?

Пусть мудрец использовал систему счисления с основанием $b$.

Тогда записанные им числа означают:

• его возраст: $33_b = 3b+3$;

• возраст матери: $124_b = b^2+2b+4$;

• возраст отца: $131_b = b^2+3b+1$;

• общий возраст: $343_b = 3b^2+4b+3$.

По условию сумма возрастов равна общему возрасту:

Складываем левую часть:

Переносим всё в одну сторону:

Разлагаем:

Основание системы счисления не может быть отрицательным, поэтому:

Значит, мудрец использовал пятеричную систему счисления.

Теперь найдём его настоящий возраст:

Проверим:

• мать: $124_5=1\cdot25+2\cdot5+4=39$;

• отец: $131_5=1\cdot25+3\cdot5+1=41$;

• вместе: $18+39+41=98$.

А $343_5=3\cdot25+4\cdot5+3=75+20+3=98$, всё сходится.

Ответ: мудрец использовал пятеричную систему счисления, и ему было 18 лет.