Дано целое число m>1. Получить наибольшее целое k, при котором 4^k<m

Для того чтобы решить задачу, нужно найти наибольшее целое число $k$, при котором выполняется неравенство $4^k < m$. Рассмотрим решение поэтапно.

Шаг 1: Логарифмирование

Необходимо выразить задачу через логарифм, чтобы упростить вычисления. Мы знаем, что:

Применим к обеим частям неравенства логарифм по основанию 4:

Слева получаем просто $k$, так как $\log_4(4^k) = k$, а справа — логарифм числа $m$ по основанию 4:

Шаг 2: Использование логарифмов по другим основаниям

Чтобы вычислить логарифм по основанию 4, можно воспользоваться формулой изменения основания логарифма:

Мы знаем, что $\log(4) = 2\log(2)$, то есть:

Теперь, чтобы найти наибольшее целое $k$, нужно взять целую часть логарифма:

Шаг 3: Пример

Допустим, $m = 100$. Тогда:

Целая часть от 3.32 — это $3$, значит наибольшее $k$, при котором $4^k < 100$, это $k = 3$.

Шаг 4: Проверка

Проверим, что $4^3 = 64$ и $4^4 = 256$. Мы видим, что $4^3 = 64$ меньше 100, а $4^4 = 256$ больше 100, что подтверждает, что $k = 3$ является правильным ответом.

Ответ

Итак, наибольшее целое $k$, при котором $4^k < m$, вычисляется как $\lfloor \log_4(m) \rfloor$.