Помогите пожалуйста!! Число 652 записали в системах счисления с основаниями от 2 до 10 включительно. При каких основаниях в записи этого числа нет цифры 2? В ответе укажите сумму всех подходящих оснований.

Для решения задачи разберем ее поэтапно:

Шаг 1: Понять задачу

Число $652$ записано в системах счисления с основаниями от $2$ до $10$ включительно. Нужно определить такие основания $k$, при которых в записи числа $652$ отсутствует цифра $2$. Затем требуется найти сумму всех таких оснований.

Шаг 2: Как представляется число в системе счисления

Запись числа $652$ в системе счисления с основанием $k$ представляется в виде:

где $a_i$ — цифры числа в данной системе счисления, удовлетворяющие условию $0 \leq a_i < k$.

Цифра $2$ не может появляться в записи, если $k \leq 2$ (так как основание ограничивает набор цифр до $0$ и $1$). Для $k > 2$ цифра $2$ может появиться, если остаток при делении на $k$ равен $2$, или если $k$ достаточно велико, чтобы включать цифру $2$ в записи.

Шаг 3: Проверка оснований

Для проверки переберем все основания $k$ от $2$ до $10$ и представим число $652$ в соответствующей системе счисления. Проверим, присутствует ли в записи цифра $2$.

• Основание $2$: В двоичной системе $652 = 1010001100_2$. Цифры: $1, 0$. Цифры $2$ нет.

• Основание $3$: В троичной системе $652 = 220211_3$. Цифры: $2, 0, 1$. Цифра $2$ есть.

• Основание $4$: В четверичной системе $652 = 22030_4$. Цифры: $2, 0, 3$. Цифра $2$ есть.

• Основание $5$: В пятеричной системе $652 = 10002_5$. Цифры: $1, 0, 2$. Цифра $2$ есть.

• Основание $6$: В шестиричной системе $652 = 3024_6$. Цифры: $3, 0, 2, 4$. Цифра $2$ есть.

• Основание $7$: В семеричной системе $652 = 1301_7$. Цифры: $1, 3, 0$. Цифры $2$ нет.

• Основание $8$: В восьмеричной системе $652 = 1214_8$. Цифры: $1, 2, 4$. Цифра $2$ есть.

• Основание $9$: В девятеричной системе $652 = 801_9$. Цифры: $8, 0, 1$. Цифры $2$ нет.

• Основание $10$: В десятичной системе $652 = 652_{10}$. Цифры: $6, 5, 2$. Цифра $2$ есть.

Шаг 4: Подходящие основания

Подходят основания, в которых в записи числа $652$ нет цифры $2$. Это основания $2$, $7$ и $9$.

Шаг 5: Сумма подходящих оснований

Сумма этих оснований:

Ответ:

Сумма всех подходящих оснований: 18.