Задача 2. Плитки При проведении ремонта в квартире дизайнер предложил выложить стену узором
р квадратных плиток, повернув их на 45°. Длина диагонали квадрата равна 2 дм.
Стена, которую необходимо покрыть плиткой, имеет размеры пx m Дм, при этом
числа n и IT - целые чётные. Для покрытия такой стены необходимо какое-то количество
целых квадратных плиток, а также несколько треугольных обрезков плитки. На рисунке
на следующей странице приведён пример покрытия плиткой стены размером 4 х 6 дм,
при этом было использовано 8 целых квадратных плиток.​

Для решения задачи по покрытию стены квадратными плитками, повернутыми на 45°, необходимо сначала понять, как располагаются плитки на стене, и затем вычислить количество необходимых плиток и обрезков.

Расположение Плиток

Поворот плиток на 45° превращает каждую плитку в ромб, чья диагональ равна 2 дм. Это значит, что сторона каждой плитки будет равна диагонали квадрата, деленной на корень из двух (по теореме Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника). Таким образом, сторона плитки составит $\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ дм.

Размеры Стены

Дана стена размером $n \times m$ дм, где $n$ и $m$ - четные числа.

Расчет Количества Плиток

1. Целые плитки: Рассмотрим, как плитки будут выглядеть на стене. Каждая плитка занимает площадь в форме ромба. Для определения количества целых плиток, нужно посчитать, сколько таких ромбов поместится на стене.

2. Обрезки плиток: Обрезки будут образовываться по краям стены. Поскольку плитки расположены под углом, каждый край стены будет иметь треугольные обрезки.

Пример

Рассмотрим пример стены 4х6 дм, где использовано 8 целых плиток. Каждая плитка занимает площадь, эквивалентную площади квадрата со стороной $\sqrt{2}$ дм. Площадь каждой плитки составляет $2$ дм².

Поскольку общая площадь стены равна $4 \times 6 = 24$ дм², и каждая плитка занимает 2 дм², то целых плиток нужно $24 / 2 = 12$. Однако в примере указано, что использовано только 8 плиток. Это говорит о том, что часть площади стены покрыта обрезками плиток.

Расчет для Общего Случая

Для стены размером $n \times m$ дм, общее количество целых плиток будет равно $\frac{nm}{2}$, так как площадь каждой плитки составляет 2 дм². Обрезки будут зависеть от формы стены и расположения плиток, их количество и форму нужно определять визуально или с помощью более детальных расчетов, учитывая конкретные размеры стены.