Задача Хронометраж операций пайки радиаторов на ремонтном предприятии дал следующие результаты

Время пайки, мин 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 Итого
Количество радиаторов 2 5 10 17 1 35

Вычислить:
1. Среднее время пайки радиатора
2. Медиану и моду
3. Относительный показатель вариации

Помогите решить задачу

Для решения задачи, рассмотрим каждое требование по отдельности.

Данные:

1. Время пайки радиатора, мин:

   • 20-30 минут (количество радиаторов — 2)
   • 30-40 минут (количество радиаторов — 5)
   • 40-50 минут (количество радиаторов — 10)
   • 50-60 минут (количество радиаторов — 17)
   • 60-70 минут (количество радиаторов — 1)

2. Общее количество радиаторов: 35

Теперь разберем, как рассчитать каждый из запрашиваемых показателей.

1. Среднее время пайки радиатора

Среднее время пайки можно рассчитать, умножив среднее время каждого интервала на количество радиаторов в нем, сложив результаты и поделив на общее количество радиаторов.

1. Определим среднее время каждого интервала:

   • 20-30 минут: среднее $= \frac{20 + 30}{2} = 25$
   • 30-40 минут: среднее $= \frac{30 + 40}{2} = 35$
   • 40-50 минут: среднее $= \frac{40 + 50}{2} = 45$
   • 50-60 минут: среднее $= \frac{50 + 60}{2} = 55$
   • 60-70 минут: среднее $= \frac{60 + 70}{2} = 65$

2. Умножим среднее время на количество радиаторов и сложим результаты:

   $$(25 \times 2) + (35 \times 5) + (45 \times 10) + (55 \times 17) + (65 \times 1) = 50 + 175 + 450 + 935 + 65 = 1675$$

3. Разделим сумму на общее количество радиаторов:

   $$\text{Среднее время пайки} = \frac{1675}{35} \approx 47,86 \text{ минут}$$

2. Медиана и мода

Медиана — это значение, делящее отсортированный ряд данных пополам. В нашем случае, количество радиаторов — 35, то есть медиана будет находиться на позиции $\frac{35 + 1}{2} = 18$-го элемента в упорядоченном ряду.

Просуммируем количество радиаторов в интервалах:

• В интервалах 20-30 и 30-40 минут суммарное количество радиаторов составляет $2 + 5 = 7$.
• В интервале 40-50 минут суммарное количество достигает $7 + 10 = 17$.
• В интервале 50-60 минут добавляются еще 17 радиаторов, и суммарное количество радиаторов становится $17 + 17 = 34$.

Таким образом, 18-й элемент попадает в интервал 50-60 минут. Медиана равна 50-60 минутам (точное значение для медианы можно принять за середину интервала, то есть 55 минут).

Мода — это наиболее частое значение. Поскольку наибольшее количество радиаторов (17) припадает на интервал 50-60 минут, модой будет интервал 50-60 минут.

3. Относительный показатель вариации

Для вычисления относительного показателя вариации используем формулу:

где $\sigma$ — стандартное отклонение, $\bar{X}$ — среднее время пайки.

Шаг 1. Вычислим стандартное отклонение ($\sigma$)

1. Для каждого интервала рассчитаем отклонение от среднего, возведем его в квадрат и умножим на количество радиаторов:

   $$(25 - 47.86)^2 \times 2 = 532.3$$ $$(35 - 47.86)^2 \times 5 = 818.3$$ $$(45 - 47.86)^2 \times 10 = 81.6$$ $$(55 - 47.86)^2 \times 17 = 852.6$$ $$(65 - 47.86)^2 \times 1 = 294.1$$

2. Суммируем результаты:

   $$532.3 + 818.3 + 81.6 + 852.6 + 294.1 = 2578.9$$

3. Разделим на общее количество радиаторов и извлечем корень:

   $$\sigma = \sqrt{\frac{2578.9}{35}} \approx 8.58 \text{ минут}$$

Шаг 2. Рассчитаем относительный показатель вариации:

Ответ

1. Среднее время пайки радиатора: примерно 47.86 минут.
2. Медиана: 55 минут, мода: интервал 50-60 минут.
3. Относительный показатель вариации: примерно 17.93%.