В системе производятся дверные блоки и оконные рамы. 10 дверных блоков производятся из 1т древесины и 4 кг клея, сотня оконных рам – из 2 т древесины и 3 кг клея. Имеется 40 т древесины и 20 кг клея. Найдите: а) КПВ; б) производственную возможность, отвечающую полному использованию древесины и клея.

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо решить задачу, связанную с производственной возможностью и границей производственных возможностей (КПВ). Рассмотрим каждую часть подробно.

Дано:

1. Для производства 10 дверных блоков требуется:

   • 1 тонна древесины,
   • 4 кг клея.

2. Для производства 100 оконных рам требуется:

   • 2 тонны древесины,
   • 3 кг клея.

3. Имеется в наличии:

   • 40 тонн древесины,
   • 20 кг клея.

Обозначим:

• $x$ — количество дверных блоков (в штуках),
• $y$ — количество оконных рам (в штуках).

Соотношение материалов:

• Древесина: $\frac{1}{10}x + \frac{2}{100}y \leq 40$ (в тоннах),
• Клей: $\frac{4}{10}x + \frac{3}{100}y \leq 20$ (в килограммах).

а) Построение КПВ (границы производственных возможностей)

Переведем данные в систему ограничений. Для каждого ограничения выразим $y$ через $x$.

Ограничение по древесине:

Умножим на 100, чтобы избавиться от дробей:

Ограничение по клею:

Умножим на 100:

Теперь у нас есть два выражения для $y$:

1. $y \leq 2000 - 5x$,
2. $y \leq \frac{2000 - 40x}{3}$.

КПВ будет представлять собой область на координатной плоскости $(x, y)$, ограниченную этими линиями и осями $x$ и $y$.

б) Производственная возможность, отвечающая полному использованию древесины и клея

Для полного использования ресурсов необходимо решить систему уравнений:

Упростим оба уравнения.

Уравнение по древесине:

Уравнение по клею:

Решим систему методом подстановки или методом алгебраического исключения.

Умножим первое уравнение на 3, а второе — на 2, чтобы исключить $y$:

Вычтем первое уравнение из второго:

Подставим $x = 160$ в первое уравнение:

Итак, полное использование древесины и клея достигается при:

• $x = 160$ (дверных блоков),
• $y = 1200$ (оконных рам).

Итоговые ответы:

а) КПВ — это область, ограниченная прямыми:

• $y = 2000 - 5x$,
• $y = \frac{2000 - 40x}{3}$, и осями координат $x \geq 0, y \geq 0$.

б) Полное использование ресурсов возможно при производстве:

• 160 дверных блоков,
• 1200 оконных рам.