Найти максимум прибыли монополиста, если известно, что спрос на его продукцию описывается функцией Q = 165 – 0,5P и функция общих затрат равна TC = 5500 + 30Q + Q.

По записанному условию:

\[Q=165-0{,}5P\]

Выразим цену через количество:

\[0{,}5P=165-Q\]

\[P=330-2Q\]

Выручка монополиста:

\[TR=P\cdot Q=(330-2Q)Q=330Q-2Q^2\]

Общие затраты:

\[TC=5500+30Q+Q=5500+31Q\]

Прибыль:

\[\Pi=TR-TC=330Q-2Q^2-5500-31Q\]

\[\Pi=-2Q^2+299Q-5500\]

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, значит максимум находится в вершине:

\[Q=\frac{-b}{2a}=\frac{-299}{2\cdot(-2)}=74{,}75\]

Найдём максимальную прибыль:

\[\Pi_{max}=-2\cdot 74{,}75^2+299\cdot 74{,}75-5500=5675{,}125\]

Ответ: максимальная прибыль равна \(5675{,}125\), при выпуске \(Q=74{,}75\).

Если в условии последним слагаемым затрат имелось в виду \(Q^2\), а не \(Q\), то результат будет другим.

0 0 Пожаловаться