На рынке салатов работает монополист. Спрос на его продукцию задаётся функцией Qd=100−P, а издержки равны TC=Q2, где Q – количество единиц салата (неотрицательное), а P – цена за единицу салата (неотрицательная). Государство недовольно сложившейся на рынке ценой и вводит потолок цен на уровне 70. Найдите оптимальный выпуск монополиста в новой ситуации.

Для решения этой задачи с монополистом, который работает на рынке салатов, нужно учесть несколько ключевых аспектов: его функцию спроса, функцию издержек и введение потолка цен государством.

Дано:

1. Функция спроса: $Q_d = 100 - P$.
2. Функция издержек: $TC = Q^2$.
3. Введен потолок цен на уровне $P = 70$.

Шаг 1: Определим цену равновесия и оптимальное количество без потолка цен

Чтобы найти оптимальный выпуск монополиста без вмешательства государства, нужно определить его предельный доход (MR) и предельные издержки (MC).

1. Выражение для спроса в виде функции цены: Из функции спроса $Q_d = 100 - P$ выразим цену $P$:

   $$P = 100 - Q$$

2. Функция выручки (TR): Общая выручка (TR) равна произведению цены на количество:

   $$TR = P \cdot Q = (100 - Q) \cdot Q = 100Q - Q^2$$

3. Предельный доход (MR): Найдем предельный доход, взяв производную от TR по $Q$:

   $$MR = \frac{d(TR)}{dQ} = 100 - 2Q$$

4. Предельные издержки (MC): Издержки заданы как $TC = Q^2$, значит, предельные издержки (MC) будут равны производной $TC$ по $Q$:

   $$MC = \frac{d(TC)}{dQ} = 2Q$$

5. Нахождение оптимального выпуска (Q) без потолка цен: Для оптимизации выпуска монополист устанавливает $MR = MC$:

   $$100 - 2Q = 2Q$$ $$100 = 4Q$$ $$Q = 25$$

6. Определение оптимальной цены (P) без потолка цен: Подставим $Q = 25$ в функцию цены:

   $$P = 100 - Q = 100 - 25 = 75$$

В обычной ситуации (без потолка цен) оптимальный выпуск монополиста составлял бы $Q = 25$ единиц, а оптимальная цена — $P = 75$.

Шаг 2: Оптимальный выпуск монополиста при введенном потолке цен

Теперь государство вводит потолок цен на уровне $P = 70$. Это означает, что монополист не может устанавливать цену выше 70.

1. Новая цена $P = 70$ и соответствующий объем спроса $Q_d$: Подставим $P = 70$ в функцию спроса, чтобы найти максимальное количество, которое потребители готовы купить по этой цене:

   $$Q_d = 100 - 70 = 30$$

2. Сравнение предельных издержек (MC) с новой ценой: При цене $P = 70$ монополист должен производить столько продукции, чтобы его предельные издержки не превышали установленную цену. В условиях монополии оптимальный выпуск устанавливается, когда $MC = P$.

   Так как $MC = 2Q$, при $P = 70$:

   $$2Q = 70$$ $$Q = 35$$

Таким образом, в новой ситуации, с учетом потолка цены в 70, оптимальный выпуск монополиста составляет $Q = 35$ единиц.