4^(1/x) + 6^(1/x) - 9^(1/x) = 0

Чтобы решить уравнение $4^{1/x} + 6^{1/x} - 9^{1/x} = 0$, сначала представим все числа как степени с основанием 2 и 3:

1. $4 = 2^2$

2. $6 = 2 \cdot 3$

3. $9 = 3^2$

Таким образом, можно переписать исходное уравнение:

Теперь упростим каждое выражение:

1. $(2^2)^{1/x} = 2^{2/x}$

2. $(2 \cdot 3)^{1/x} = 2^{1/x} \cdot 3^{1/x}$

3. $(3^2)^{1/x} = 3^{2/x}$

Подставляем это в уравнение:

Теперь рассмотрим возможные значения для $x$.

Попробуем подставить $x = 2$:

При $x = 2$:

• $2^{2/2} = 2^1 = 2$

• $2^{1/2} \cdot 3^{1/2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$

• $3^{2/2} = 3^1 = 3$

Подставим эти значения в уравнение:

Это не выполняется, так как $2 + \sqrt{6} - 3 \neq 0$.

Попробуем подставить $x = 1$:

При $x = 1$:

• $2^{2/1} = 2^2 = 4$

• $2^{1/1} \cdot 3^{1/1} = 2 \cdot 3 = 6$

• $3^{2/1} = 3^2 = 9$

Подставим эти значения в уравнение:

Это выражение выполняется. Значит, $x = 1$ — решение уравнения.

Проверка на другие возможные значения:

Для других значений $x$, особенно тех, которые значительно отличаются от 1, сложно ожидать, что уравнение будет равно нулю. Экспоненциальные функции такие, как эти, при $x$ становятся либо очень большими, либо очень малыми, в зависимости от знака и величины $x$, так что для них уравнение уже не будет равняться нулю.

Таким образом, единственное решение уравнения $4^{1/x} + 6^{1/x} - 9^{1/x} = 0$ — это $x = 1$.