(Х+9)(х+1)(х-4)>0 Решииите

Чтобы решить неравенство $(x+9)(x+1)(x-4) > 0$, нужно найти интервалы, на которых произведение этих трёх выражений положительно.

Шаг 1: Найдём корни уравнения

Для начала найдём корни уравнения $(x+9)(x+1)(x-4) = 0$:

• $x+9 = 0 \Rightarrow x = -9$,

• $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$,

• $x-4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

Итак, у нас есть три корня: $x = -9$, $x = -1$ и $x = 4$.

Шаг 2: Разбиение на интервалы

Эти корни разбивают числовую прямую на 4 интервала:

1. $(-\infty, -9)$

2. $(-9, -1)$

3. $(-1, 4)$

4. $(4, +\infty)$

Шаг 3: Определим знак на каждом интервале

Чтобы понять, на каком интервале выражение $(x+9)(x+1)(x-4)$ положительно, подставим тестовые значения из каждого интервала.

1. Для интервала $(- \infty, -9)$, возьмём $x = -10$:

   $$(x+9) = (-10 + 9) = -1, \quad (x+1) = (-10 + 1) = -9, \quad (x-4) = (-10 - 4) = -14$$

   Все множители отрицательные, значит, произведение отрицательное: $(-1) \cdot (-9) \cdot (-14) < 0$.

2. Для интервала $(-9, -1)$, возьмём $x = -5$:

   $$(x+9) = (-5 + 9) = 4, \quad (x+1) = (-5 + 1) = -4, \quad (x-4) = (-5 - 4) = -9$$

   Два множителя отрицательные, один положительный, значит, произведение положительное: $4 \cdot (-4) \cdot (-9) > 0$.

3. Для интервала $(-1, 4)$, возьмём $x = 0$:

   $$(x+9) = (0 + 9) = 9, \quad (x+1) = (0 + 1) = 1, \quad (x-4) = (0 - 4) = -4$$

   Два множителя положительные, один отрицательный, значит, произведение отрицательное: $9 \cdot 1 \cdot (-4) < 0$.

4. Для интервала $(4, +\infty)$, возьмём $x = 5$:

   $$(x+9) = (5 + 9) = 14, \quad (x+1) = (5 + 1) = 6, \quad (x-4) = (5 - 4) = 1$$

   Все множители положительные, значит, произведение положительное: $14 \cdot 6 \cdot 1 > 0$.

Шаг 4: Составим ответ

Неравенство $(x+9)(x+1)(x-4) > 0$ выполняется на интервалах, где произведение положительно:

• на интервале $(-9, -1)$,

• на интервале $(4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-9, -1) \cup (4, +\infty)$.