(x-1)(x+4) >= 0 (x-5)(x-1.5)<0 (x+2)(x-3)<0 (x-4)(x+3)=<0

Решим неравенство:

Шаг 1: Решение первого неравенства $(x-1)(x+4) \geq 0$

Для того чтобы решить неравенство $(x-1)(x+4) \geq 0$, найдем точки, при которых выражение равно нулю. Это происходит при $x = 1$ и $x = -4$.

Затем разобьем числовую ось на интервалы, используя эти точки:

• $x < -4$,

• $-4 \leq x \leq 1$,

• $x > 1$.

Теперь проверим знак выражения $(x-1)(x+4)$ на каждом интервале:

1. Для $x < -4$ (например, $x = -5$): $(-5-1)(-5+4) = (-6)(-1) = 6$, положительный.

2. Для $-4 < x < 1$ (например, $x = 0$): $(0-1)(0+4) = (-1)(4) = -4$, отрицательный.

3. Для $x > 1$ (например, $x = 2$): $(2-1)(2+4) = (1)(6) = 6$, положительный.

Таким образом, $(x-1)(x+4) \geq 0$ при $x \in (-\infty, -4] \cup [1, \infty)$.

Шаг 2: Решение второго неравенства $(x-5)(x-1.5) \geq 0$

Аналогично, решим неравенство $(x-5)(x-1.5) \geq 0$. Найдем точки, при которых выражение равно нулю: $x = 5$ и $x = 1.5$.

Разобьем числовую ось на интервалы:

• $x < 1.5$,

• $1.5 \leq x \leq 5$,

• $x > 5$.

Теперь проверим знак выражения $(x-5)(x-1.5)$ на каждом интервале:

1. Для $x < 1.5$ (например, $x = 0$): $(0-5)(0-1.5) = (-5)(-1.5) = 7.5$, положительный.

2. Для $1.5 < x < 5$ (например, $x = 2$): $(2-5)(2-1.5) = (-3)(0.5) = -1.5$, отрицательный.

3. Для $x > 5$ (например, $x = 6$): $(6-5)(6-1.5) = (1)(4.5) = 4.5$, положительный.

Таким образом, $(x-5)(x-1.5) \geq 0$ при $x \in (-\infty, 1.5] \cup [5, \infty)$.

Шаг 3: Пересечение решений

Теперь, чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение двух полученных областей:

1. Для первого неравенства $x \in (-\infty, -4] \cup [1, \infty)$,

2. Для второго неравенства $x \in (-\infty, 1.5] \cup [5, \infty)$.

Пересечение этих областей:

• $(-∞, -4]$ пересекается с $(-∞, 1.5]$, давая $(-∞, -4]$,

• $[1, ∞)$ пересекается с $[5, ∞)$, давая $[5, ∞)$.

Таким образом, решение системы: $x \in (-\infty, -4] \cup [5, ∞)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty)$.