f(x)=2x+3/3x-2

Понимаю функцию как дробно-линейную

— Область определения: $x\ne \tfrac{2}{3}$ (в знаменателе ноль).
— Нули (x-пересечение): $2x+3=0\Rightarrow x=-\tfrac{3}{2}$. Точка $\bigl(-\tfrac{3}{2},\,0\bigr)$.
— y-пересечение: $x=0\Rightarrow f(0)=-\tfrac{3}{2}$. Точка $\bigl(0,\,-\tfrac{3}{2}\bigr)$.

Асимптоты

• Вертикальная: $x=\tfrac{2}{3}$.

• Горизонтальная: степени одинаковые, берём отношение ведущих коэффициентов $\tfrac{2}{3}$ ⇒ $y=\tfrac{2}{3}$.
  Проверка на пересечение: $\frac{2x+3}{3x-2}=\tfrac{2}{3}\Rightarrow 6x+9=6x-4$ — противоречие, значит $y=\tfrac{2}{3}$ недостижима.

Пределы у асимптот

Действительно,

Производные и монотонность

значит функция строго убывает на $(-\infty,\tfrac{2}{3})$ и на $(\tfrac{2}{3},\infty)$, экстремумов нет.

выпукла вниз на $(-\infty,\tfrac{2}{3})$ и вверх на $(\tfrac{2}{3},\infty)$ (точки перегиба нет, т.к. в $x=\tfrac{2}{3}$ функция не определена).

Область значений: по недостижимой горизонтальной асимптоте

Геометрический вид
Это прямоугольная гипербола, центр в точке пересечения асимптот $\bigl(\tfrac{2}{3},\,\tfrac{2}{3}\bigr)$. Удобное уравнение: