(7^(x)-1)/3=(7^x+1+49)/7^x+1

Для решения уравнения $\frac{7^x - 1}{3} = \frac{7^x + 1 + 49}{7^x + 1}$, давайте последовательно преобразуем обе части.

1. Начнем с того, что упростим выражения в обеих частях уравнения.

   Левая часть: $\frac{7^x - 1}{3}$.

   Правая часть: $\frac{7^x + 1 + 49}{7^x + 1}$ можно упростить, выразив $49$ как $7^2$. Получается:

   $$\frac{7^x + 1 + 49}{7^x + 1} = \frac{7^x + 50}{7^x + 1}.$$

   Теперь у нас есть уравнение:

   $$\frac{7^x - 1}{3} = \frac{7^x + 50}{7^x + 1}.$$

2. Чтобы избавиться от дробей, перемножим обе части уравнения на знаменатели:

   $$(7^x - 1)(7^x + 1) = 3(7^x + 50).$$

   Раскроем скобки:

   $$(7^x - 1)(7^x + 1) = (7^x)^2 - 1^2 = 7^{2x} - 1,$$

   а правая часть:

   $$3(7^x + 50) = 3 \cdot 7^x + 150.$$

   Получаем уравнение:

   $$7^{2x} - 1 = 3 \cdot 7^x + 150.$$

3. Переносим все термины в одну сторону:

   $$7^{2x} - 3 \cdot 7^x - 151 = 0.$$

4. Это квадратное уравнение относительно $7^x$. Пусть $y = 7^x$, тогда уравнение примет вид:

   $$y^2 - 3y - 151 = 0.$$

5. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ay^2 + by + c = 0$ дискриминант $\Delta$ вычисляется по формуле:

   $$\Delta = b^2 - 4ac.$$

   Здесь $a = 1$, $b = -3$, $c = -151$:

   $$\Delta = (-3)^2 - 4(1)(-151) = 9 + 604 = 613.$$

   Таким образом, корни уравнения вычисляются по формуле:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{613}}{2}.$$

   Приблизительное значение $\sqrt{613} \approx 24.74$, следовательно:

   $$y = \frac{3 \pm 24.74}{2}.$$

   Это дает два возможных значения для $y$:

   $$y_1 = \frac{3 + 24.74}{2} \approx 13.87, \quad y_2 = \frac{3 - 24.74}{2} \approx -10.87.$$