высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см. Радиус окружности, описанной около ее основания, 4√3см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, используем несколько шагов.

Дано:

1. Высота пирамиды $h = 6 \, \text{см}$,
2. Радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды, $R = 4\sqrt{3} \, \text{см}$.

1. Разберёмся с основанием

Основание пирамиды — правильный треугольник. В правильном треугольнике радиус описанной окружности $R$ выражается через сторону $a$ треугольника:

Подставим $R = 4\sqrt{3}$:

Умножим обе части на $\sqrt{3}$:

Таким образом, сторона основания $a = 12 \, \text{см}$.

2. Найдём апофему пирамиды

Апофема — это высота боковой грани пирамиды (равнобедренного треугольника). Чтобы её найти, рассмотрим треугольник, образованный:

• высотой пирамиды $h = 6 \, \text{см}$,
• высотой правильного треугольника основания (которая делит сторону пополам),
• апофемой $l$ (гипотенуза этого треугольника).

Сначала найдём высоту основания треугольника $H$. Для правильного треугольника высота выражается как:

Подставим $a = 12$:

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором:

• одна сторона — высота пирамиды $h = 6$,
• другая сторона — расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания (равно половине высоты основания), то есть $\frac{H}{2}$:

По теореме Пифагора найдём апофему $l$:

Подставим значения:

Выполним вычисления:

Следовательно:

3. Найдём площадь боковой поверхности

Боковая поверхность пирамиды состоит из трёх равных треугольников с основанием $a = 12 \, \text{см}$ и высотой (апофемой) $l = 3\sqrt{7} \, \text{см}$.

Площадь одного треугольника:

Подставим значения: