Log2²x + 3log2 x - 4 = 0

Давайте решим уравнение $\log_2^2 x + 3\log_2 x - 4 = 0$.

1. Замена переменной:
   Пусть $y = \log_2 x$. Тогда у нас получится следующее уравнение:

   $$y^2 + 3y - 4 = 0.$$

   Это квадратное уравнение.

2. Решение квадратного уравнения:
   Чтобы решить квадратное уравнение, воспользуемся формулой для нахождения корней:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$

   где $a = 1$, $b = 3$, $c = -4$. Подставляем значения:

   $$y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2}.$$

   Таким образом, мы получаем два корня:

   $$y = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \quad \text{или} \quad y = \frac{-3 - 5}{2} = -4.$$

3. Возвращаемся к переменной $x$:
   Мы знаем, что $y = \log_2 x$, поэтому:

   • Если $y = 1$, то $\log_2 x = 1$, что означает $x = 2^1 = 2$.

   • Если $y = -4$, то $\log_2 x = -4$, что означает $x = 2^{-4} = \frac{1}{16}$.

4. Проверка решений:
   Для $x = 2$:

   $$\log_2^2 2 + 3 \log_2 2 - 4 = 1^2 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0.$$

   Уравнение выполняется, значит $x = 2$ — решение.

   Для $x = \frac{1}{16}$:

   $$\log_2^2 \left(\frac{1}{16}\right) + 3 \log_2 \left(\frac{1}{16}\right) - 4 = (-4)^2 + 3 \cdot (-4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0.$$

   Уравнение также выполняется, значит $x = \frac{1}{16}$ — решение.

Таким образом, оба значения $x = 2$ и $x = \frac{1}{16}$ являются решениями исходного уравнения.