1/(5^x + 31) > 4/(5^(x+1) - 1)

Чтобы решить неравенство $\frac{1}{5^x + 31} > \frac{4}{5^{x+1} - 1}$, начнем с преобразования выражений для удобства.

Шаг 1. Упростим правую часть

В правой части неравенства у нас выражение $5^{x+1}$, которое можно представить как $5^x \cdot 5$. Тогда правую часть можно переписать так:

Теперь неравенство принимает вид:

Шаг 2. Переносим все в одну сторону

Для того чтобы решить это неравенство, нужно привести обе его части к общему знаменателю. Для этого сначала умножим обе части на $(5^x + 31)(5 \cdot 5^x - 1)$, при этом важно помнить, что при умножении на выражение мы должны учитывать знак, чтобы не изменить знак неравенства. Предполагаем, что обе части выражений положительные (так как значения $5^x + 31$ и $5 \cdot 5^x - 1$ всегда положительные при $x \geq 0$, что мы проверим позднее).

Умножим обе части на эти выражения:

Получаем:

Шаг 3. Упростим полученное неравенство

Раскроем скобки:

Теперь перенесем все члены с $5^x$ в одну сторону:

Упрощаем:

Шаг 4. Решим неравенство

Теперь, $5^x > 125$, что можно переписать как $5^x > 5^3$. Следовательно, $x > 3$.

Ответ:

Решением неравенства будет $x > 3$.