3*16^x + 2*81^x = 5*36^x

Решим уравнение

Шаг 1. Выразим степени через удобные основания

Заметим:

• $16 = 2^4 \Rightarrow 16^x = 2^{4x}$,

• $81 = 3^4 \Rightarrow 81^x = 3^{4x}$,

• $36 = 6^2 = (2\cdot 3)^2 \Rightarrow 36^x = (2^2\cdot 3^2)^x = 2^{2x}\cdot 3^{2x}$.

Введём обозначения:

Тогда:

• $16^x = 2^{4x} = (2^{2x})^2 = a^2$,

• $81^x = 3^{4x} = (3^{2x})^2 = b^2$,

• $36^x = 2^{2x}3^{2x} = ab$.

Подставим это в исходное уравнение:

Шаг 2. Получаем квадратное уравнение

Перенесём всё в одну сторону:

Разделим на $b^2$ (можно, так как $b = 3^{2x} > 0$):

Обозначим

Тогда уравнение становится:

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант:

Корни:

Получаем:

То есть

Шаг 3. Находим x из каждого случая

1. $\left(\dfrac{4}{9}\right)^x = 1$