2x² + 3x - 2 > 0. Решите неравенство.

Решим неравенство

Шаг 1. Найдём корни соответствующего уравнения

Рассмотрим квадратичное уравнение:

Вычисляем дискриминант:

Корни:

Считаем:

• $x_1 = \dfrac{-3 - 5}{4} = \dfrac{-8}{4} = -2$

• $x_2 = \dfrac{-3 + 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

Значит, корни уравнения:

Шаг 2. Определим знак квадратичной функции

Функция $y = 2x^2 + 3x - 2$ — парабола, ветви направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 2 > 0$).

Значит:

• между корнями $-2$ и $\dfrac{1}{2}$ парабола ниже оси $Ox$ (значения отрицательны),

• вне корней — выше оси $Ox$ (значения положительны).

Точки разбиения числовой прямой: $-\infty$, $-2$, $\dfrac{1}{2}$, $+\infty$.

Проверим знак, например:

• Для $x = -3$ (интервал $(-\infty, -2)$):

  $$2(-3)^2 + 3(-3) - 2 = 18 - 9 - 2 = 7 > 0.$$

• Для $x = 0$ (интервал $(-2, \tfrac{1}{2})$):

  $$2 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 - 2 = -2 < 0.$$

• Для $x = 1$ (интервал $(\tfrac{1}{2}, +\infty)$):

  $$2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 2 = 2 + 3 - 2 = 3 > 0.$$

Значит, неравенство

выполняется на интервалах, где выражение положительно:

Важно: знак строгий (> 0), поэтому точки $x = -2$ и $x = \dfrac{1}{2}$ в ответ не входят.

Ответ: