1) log_2.5 (6-x)>=log_2.5 (4-3x) 2) log_0.6 (6x-x^2)>=log_0.6 (-8-x)

1) Неравенство: log₂.₅(6 - x) ≥ log₂.₅(4 - 3x)

Для решения неравенства, сначала заметим, что основание логарифма 2.5 больше единицы, поэтому функция логарифма возрастает, и неравенство можно решить, приравняв выражения внутри логарифмов.

log₂.₅(6 - x) ≥ log₂.₅(4 - 3x)

Так как логарифм с основанием больше 1 монотонно возрастает, то неравенство преобразуется в:

6 - x ≥ 4 - 3x

Теперь решим это неравенство:

1. Переносим все x в одну сторону, а числа в другую:

6 - 4 ≥ -3x + x

2. Упрощаем:

2 ≥ -2x

3. Делим обе стороны на -2 (не забываем, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется):

x ≥ -1

Ответ: x ≥ -1.

2) Неравенство: log₀.₆(6x - x²) ≥ log₀.₆(-8 - x)

Здесь основание логарифма 0.6 меньше 1, и поэтому логарифм будет убывающей функцией. Когда логарифм убывает, неравенство необходимо инвертировать:

log₀.₆(6x - x²) ≥ log₀.₆(-8 - x)

При таком основании неравенство преобразуется в:

6x - x² ≤ -8 - x

Теперь решим это неравенство:

1. Переносим все выражения в одну сторону:

6x - x² + x + 8 ≥ 0

2. Упорядочиваем по убыванию степени:

-x² + 7x + 8 ≥ 0

3. Умножаем обе части на -1 (меняется знак неравенства):

x² - 7x - 8 ≤ 0

4. Решаем квадратное неравенство x² - 7x - 8 ≤ 0. Для этого находим корни квадратного уравнения x² - 7x - 8 = 0:

x = (-(-7) ± √((-7)² - 4 * 1 * (-8)))/2 * 1
x = (7 ± √(49 + 32))/2
x = (7 ± √81)/2
x = (7 ± 9)/2

Тогда получаем два корня:

x₁ = (7 + 9)/2 = 8
x₂ = (7 - 9)/2 = -1

Таким образом, x² - 7x - 8 ≤ 0, это неравенство выполняется для x ∈ [-1, 8].

Теперь важно учесть, что выражения под логарифмами должны быть положительными:

1. 6x - x² > 0

2. -8 - x > 0

Решим эти неравенства:

1. 6x - x² > 0 можно факторизовать:

x(6 - x) > 0

Это неравенство выполняется при x ∈ (0, 6).

2. -8 - x > 0 решается как x < -8.

Таким образом, на пересечении этих двух условий (x ∈ (0, 6) и x < -8) решения не существует, так как нет общих значений для x.

Ответ: Нет решений для второго неравенства.